Если не считать религиозность и религиозный взгляд на мир зависимостью — то, безусловно, независимое. Ибо имеет свою Конституцию, пусть и не совсем обычную для светского человека, своего Главу, наконец, свои границы (пусть и внутри Рима).
С другой стороны, экономически и, в какой-то степени, ментально, Ватикан весьма сильно зависит от Италии, да и от Евросоюза в целом. Ибо производит, как принято говорить, только пищу духовную, не имеет армии (швейцарские гвардейцы, при всем уважении к ним, не в счет) и, самое главное, не имеет никакого опыта государственного управления (при всем уважении к Папам Римским). Так что однозначного ответа здесь нет!