Почему коэффициент трения качения имеет линейную размерность?

Отвечая на этот вопрос, следует уточнить, что коэффициент трения скольжения безразмерен, а вот коэффициент трения качения имеет размерность длины, а следовательно и линейную размерность. При движении колесо немного вдавливается в дорогу и ему приходится взбираться на бугорок и из-за этого возникает трение качения. Чем тверже поверхность дороги, тем меньше выступ перед колесом, следовательно тем меньше трение качения. Поэтому все заезды на побитие мировых рекордов скорости проводятся на высохших солёных озерах у которых присутствует очень большая твердость дна. Чтобы определить силу трения качения надо вспомнить формулу, F=k*N /r, где r обозначает радиус колеса. Исходя из этой формулы можно понять, что коэффициент трения качения имеет размерность длины. Размерность длины обычно выражается в сантиметрах и поэтому линейна.
Приведенный мной выше пример трения качения, как трение между автомобильной шиной и дорожным полотном, будет не единственным, но самым показательным. Так как трение качения происходит тогда, когда происходит сопротивление движению, которое возникает при перекатывании тел друг по другу. А вот причина трения качения это деформация катка и опорной поверхности. В большинстве примеров величина трения качения гораздо меньше величины трения скольжения при других равных условиях и поэтому качение является распространенным видом движения в технике.

Если для пары скольжения коэффициентом трения является отношение силы трения, к силе прижимающей (и эта величина безразмерная), то для пары качения коэффициентом трения является отношение момента трения к прижимающей силе.
При рассмотрении схемы качения, например, колеса автомобиля по песчаной дороге, когда колесо под действием веса автомобиля вдавливается в песок, и в каждый момент времени движения оно находится в ямке, образовавшейся от вдавливания в песок колеса прижимающей силой веса автомобиля. Для того, чтобы продолжать движение, необходимо постоянно выкатывать колесо (соответственно все 4 колеса для автомобиля) из образовавшейся ямки. При этом прижимающая сила проходит через ось колеса и направлена вертикально вниз. А реакция от опоры (грунта, в нашем случае песка) направлена вверх и назад и проходит через край ямки, расположенный по направлению движения колеса. Эта сила реакции опорной поверхности и создает сопротивление качению колеса. Она может быть разложена на две составляющие силы, одна из которых направлена вертикально вверх и по величине соответствует прижимающей силе, а другая, направленная против движения, по величине соответствует внешней силе для случая равномерного движения. Эта вторая составляющая, направленная горизонтально против движения и есть сита трения качения. Точка приложения этой силы – край ямки, продавленной колесом.
Для упрощения можно рассматривать в каждый момент времени движения поворот колеса относительно точки на краю ямки.
Тогда, рассмотрев действующие силы и моменты для случая равномерного движения можно записать уравнение:
F x R = N x f;
где: F – внешняя сила, двигающая колесо (автомобиль), которая приложена к оси колеса и направлена горизонтально;
R – радиус колеса автомобиля;
N – вертикальная прижимающая сила;
f — расстояние от края ямки (точки, вокруг которой рассматривается момент движения) до вертикали, проходящей через ось колеса, по которой направлена прижимающая сила.

F x R – это момент вращения колеса М. Для условий равномерного движения момент вращения колеса М равен моменту трения качения Мт. А момент трения качения Мт равен произведению силы трения качения Fт, которая направлена навстречу движению, на радиус R колеса.

N – прижимающая сила.

Величина f = F x R/N = М /N и с учетом того, что М = Мт., f = Мт /N, — это и есть коэффициент трения качения. И его размерность линейная, что соответствует и физическому смыслу.
Практически это плечо момента прижимающей силы N относительно края ямки от вдавливания колеса в грунт, то есть линейная величина.

Чем больше деформация опорной поверхности (или самого колеса, что равнозначно), тем больше смещается край ямки от вертикали, проходящей через ось колеса, вдоль которой действует прижимающая сила, и тем больше плечо момента сопротивления качению при прочих равных условиях.